Sunday, 23 July 2017
Energía mecánica de partículas puntuales

Energía mecánica de partículas puntuales

La energía mecánica esta conformada por dos tipos conocidos como energía de movimiento (K) y energía de posición (U). Tambien son conocidas dichas energías como energía cinética y potencial. La energía mecánica es una cantidad escalar, es decir está definida por un número y una unidad. La unidad utilizada en el sistema internacional correponde al Julio.

Energía cinética de una partícula.

Una partícula puntual es producto de una modelación que realliza el hombre para poder realizar cálculos basados en el comportamiento de cuerpos reales. Esto quiere decir que las partículas puntuales corresponden a un modelamiento que realiza el hombre. Por ejemplo, se dice:
  • Una estrella vista desde la Tierra se puede considerar como un punto.
  • Un planeta del sistema solar visto desde la Tierra puede considerarse como un punto.
  • En cálculos de dinámica un sistema ( carro, niño, árbol, etc.) es modelado como un punto al cual se le aplican las fuerzas y ese punto se denomina centro de masa.
Las partículas puntuales poseen tres grados de movimiento, las cuales corresponden al movimiento a lo largo de los tres ehes "x", "y" y "z". La energía cinética (K)de una partícula se calcula mediante la fórmula:
K = M V2/ 2

La energía cinética de cualquier partícula es mayor o igual que cero. Se mide en Julios que se indica mendiante una J.
Ejemplos:
Calcula la energía cinética de una partícula puntual de 3000 g de masa y que se desplaza con una rapidez de 20 km/hr.

Solución:

V = 20 km /hr = 5,56 m/s Nota: Para pasar de km /hr a m/s se debe dividir entre 3.6.
M = 3000g = 3 kg Nota: Para pasar de gramos a kilogramos divida entre 1000.

K = 3* 5,562/ 2 = 46.37 J

Respuesta: La partícula posee una energía de movimiento de 46,37 J
Determine la energía cinética de una partícula de 200g de masa y que se mueve con una velocidad V = ( 3 i + 4 j ) m/s
Solución:
M = 200g = 0,2 kg
V = ( 3 i + 4 j) m/s
V = ( 3 2 + 4 2) 0.5 m/s = 5 m/s
K = 0,2* 5 2 / 2 = 2,5 J

Respuesta: La energía cinética de la partícula es 2,5 J.

Energía cinética de un sistema de partículas puntuales

Un sistema de partículas puntuales está conformado por más de dos partículas puntuales, cada una de ellas cuando se desplaza posee energía cinética, la cual depende de su masa y de su rapidez.
La energía cinética de un sistema de partículas puntuales se calcula mediante:
KTotal = Suma de energías cinéticas de las partículas
Ejemplos:

Dos masas de 3kg y 2kg se mueven por un dobel plano inclinado atadas por una cuerda. El ángulo de inclinación de los planos inclinados respecto a la horizontal es de 30º. Si se desplazan con una rapidez de 2 m/s, calcule la energía cinética del sistema.

Solución:
m = 2kg
M = 3 kg
V = 2 m/s
K1 = m V2/ 2 =2 * 22/ 2 = 4 J
K2 = M V2/ 2 = 3 * 22 / 2 = 6 J
KTotal = K1 + K2 = 4 J+ 6 J = 10 J

Respuesta: La energía cinética del sistema es 10 J

Tres partículas idénticas de 0,2 kg c/u, se desplazan con las siguientes velocidades: V1 = (4 i - 3 j) m/s, V2 = (3 i + 4 j) m/s y V3 = ( -3 i - 4 j ) m/s. Calcule la energía de movimiento del sistema.

Solución:
M1 = M2 = M3 = 0, 2 kg
V1 = ( 4 i - 3 j) m/s , por lo tanto V1 = ( 42 + (-3)2)0,5 m/s = 5 m/s
V2 = ( 3 i + 4 j) m/s, de manera que V2 = (32 + 42)0,5 m/s = 5 m/s
V3 = ( -3 i - 4 j ) m/s, por lo tanto V3 = ( (-3)2 + (-4)2))0,5 m/s = 5 m/s
K1 = M1 V12/2 = 0,2 * 52 / 2= 2,5 J
 
K2 = M2 V22 / 2 = 0,2 * 52 / 2 = 2,5 J
K3 = M3 V32 / 2 = 0,2 * 52 / 2 = 2,5 J

KTotal = K1 + K2 + K3 = 7,5 J
Respuesta: La energía de movimiento del sistema es de 7,5 J.

Energía potencial

 
La energía potencia es una energía relativa respecto a un punto de observación o comparativo. Las más utilizadas en cursos básicos de mecánica de clásica son la de los resortes y la potencial gravitacinal. En ambos casos se mide en Julios.

Energía potencial gravitacional

La energía potencial gravitacional es una energía relativa cuyo valor varía según el punto de referencia del observador. Es una cantidad escalar, por lotanto está definida por un número y una unidad. En el sistema internacional su unidad es el Julio. Esta es calculada mediante:
Umg = m g H
donde H es la altura media desde el punto donde se encuentra el observador. Por ejemplo:
  • Si el observador se encuentra al mismo nivel del objeto su energía de posición vale cero, pues H = 0 m.
  • Si el nivel del observador se encuentra a un metro arriba de la partícula, su energía de posición es - mg.
  • Si el nivel del observador se encuentra a un metro por debajo de la partícula, su energía de posición es mg.
Ejemplos:
Se tienen 3 partículas de 2 kg c/u, colocadas a 5m por encima del nivel del observador. Calcule la energía potencial del sistema.

Solución:

M1 = M2 = M3 = 2 kg
H1 = H2 = H3 = 5 m
U1 = M1 g H1 = 2 * 9,8 * 5 = 98 J
U2 = M2 g H2 = 2 * 9,8 * 5 = 98 J
U3 = M3 g H3 = 2* 9,8 * 5 = 98 J
UTotal = U1 + U 2 + U 3 = 98*3 = 294 J

Respuesta: La energía potencial del sistema es de 294 J

Energía potencial elástica (resorte)

La energía potencia elástica de un resorte es producto de la fuerza de reacción que ejerce el resorte a ser comprimido o estirado. Se mide también en Julios. se calcula mediante la siguiente fórmula:
U elástica = 0,5 kelasticidad X2
donde x es la distancia que se comprimió o estiró el resorte respecto a su longitud normal.

Ejemplo:
Calcule la energía almacenada por un resorte de 0,5 m de largo que es comporimido hasta tener una longitud de 0,4 m, si su constante elástica es de 900N/m.

Solución:
kelástica = 900N/m
Xinicial = 0,5 m
Xfinal = 0,4 m
X = Xfinal - Xinicial = 0,5 - 0,4 = 0,1 m

Energía mecánica

Como se mencionó al inicio la energía mecánica está conformada por dos tipos principales ( movimiento y posición). Bajo la presencia de fuerzas conservativas, es decir bajo la influencia de fuerzas que no obliguen a la transformación de energías de posición o movimeinto a otro tipo, la energía mecánica se conservará. Un ejemplo de fuerza que no es conservativa es la fricción, pues transforma energía mecánica en caloríca.
La energía mecánica se calcula utilizando la siguiente fórmula:
EMecánica = KTotal + UTotal

Ejemplos:

Calcule la energía mecánica del sistema mostrado en la figura donde sobre la mesa lisa es 3 kg y la otra de 2kg. Suponga que la rapidez de las masas es de 2 m/s2, el nivel de referencia es la parte superior de la mesa y el cuerpo se encuentra a un metro por debajo de dicho nivel.
Movimiento sobre una mesa con un cuerpo colgante
Solución:

M = 3 kg
m = 2 kg
V = 2m/s
H1 = 0 m
H2 = -1 m
K 1 = M V2 / 2 = 3 * 22 / 2 = 6 J
K2 = m V2 / 2 = 2 * 22 / 2 = 4 J
K = K1 + K2 = 6 J + 4 J = 10 J
U 1 = M g H1= 0
U2 = m g H2 = 2 * 9,8 * (-1) = -19,6 J
U = U1 + U 2 = -19,6 J
EMecánica = K + U = 10 - 19,6 = -9,6 J
Respuesta: La energía mecánica del sistema es de -9,6 J

Un sistema como el mostrado en el porblema anterior parte con las masas en reposo, determine la altura del objeto colgante cuando la rapidez de las masas es de 4 m/s. Suponga que la masa colgante se encuentra inicialmente a 1 m por debajo del nivel de la mesa.

Solución:
M = 3 kg
m = 2 kg
Vo = 0
Vf = 4 m/s
Analizando el estado inicial del movimiento del sistema.
K1 inicial = M Vo2 / 2 = 0
K2 inicial = m Vo2 / 2
Kinicial = 0 J
U1 inicial = M g H1 = 0
U2 inicial = 2 * 9,8 * (-1) = -19,6 J
Uinicial = U1 inicial + U2 Inicial = -19,6 J

EMecánica incial = 0 + (-196,6) = -19,6 J

Analizando el estado final de movimiento del sistema.
K1 final = M Vf2 / 2 = 3 * 42 / 2 = 24 J
K2 final = m Vf2 /2 = 2 * 42 / 2 = 16 J
KFinal = K1 final + K2 final = 24 + 16 = 40 J

U1 final = M g H1Final = 0 J
U2 final = m g H2 final
Ufinal = U1 final + U2 final = m g H2 final
EMecánica final = Kfinal + UFinal = 40 + mg H2 final
Dado que no hay fuerzas disipativas la energía mecánica se conserva, por lo tanto:
-19,6 J = 40 + 2 * 9,8 * H2 final

-19,6 -40 = 19,6 * H2 final
-59,6 = -19,6 * H2 final
-59.6/(19,6) H2 final
H2 final = -3,04 m
Respuesta: El cuerpo colgante estará a 3,04 m por debajo del nivel de la mesa.

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