Gnuplot y vectores
Gnuplot es un paquete apto para la enseñanza de los principios de la mecánica clásica. La utilización del algebra vectorial en la mecánica clásica es inevitable, por lo cual sus contenidos deben reforzarse utilizando la mayor cantidad de canales posible. En este artículo se ilustrará como gnuplot ayuda al estudiante a comprender y a reforzar algunos básicos sobre el uso y tratamiento de los vectores.
Concepto de vector
El vector es una cantidad compleja que está asociada a un tamaño y una dirección. Desde la representación gráfica se trata de inducir al estudiante a que todo vector esta relacionado con un sistema de coordenadas, que por lo general inicialmete se realizan los ejemplos con el sistema cartesiano. Al estudiante se le indica que existe un punto muy importante en la gráfica de vectores, el cual corresponde al origen, Este punto representa el punto de referencia o de observación de los vectores. Posteriormente al estudiante se le indica que el vector se gráfica partiendo de un punto y se traza una línea recta hasta el punto donde termina el vector. En la parte final del vector se dibuja una cabeza de flecha.
Graficación de un vector en 2D
A continuación se detalla el procedimiento para grafica un vector en 2D:
- Generación del archivo que guardará la posición del origen: El estudiante abrirá el block de notas y generará un archivo que contendrá una única línea. En ella se anotará un cero espacio un cero, es decir, "0 0". Se guardará en el directorio bin de la carpeta principal gnuplot. Para realizar este ejemplo se asumirá que el archivo se llama origen2d.txt. No olvide que el windows no indica la extensión, por lo cual el archivo fue salvado como origen2d.
- Apertura de gnuplot: Vaya a la carpeta bin del gnuplot y ejecute wgnuplot.exe. Esto generará una salida que tiene en la parte inferior una consola, con una línea que dice "gnuplot>:". Esá línea de comandos.
- Definir el rango de los valores de la escala horizontal y vertical de la gráfica: Suponga que usted desea grafica r el vector a = 2 i +4 j. Para ello se utilizará un rango para "x" e "y" de 0 hasta 5. Escriba la instrucción set xrange[0:5], presione enter. Luego escriba set yrange[0:5]. Con ello, ya se tiene definido El rango de valores para los dos ejes.
- Escribir el comando para presentar el origen: Usted debe escribir plot "origen2d.txt". Esto desplegará los ejes y gráfica el punto llamado origen.
- Definicióndel vector: Se indica el comando que define el vector con inicio en el origen y terminando en las coordendas (2,4). La instrucción es: set arrow 1 from 0,0 to 2,4.
- Refrescar imagen: Se debe indicar al gnuplot que refresque la figura, para ello escriba " replot" y presione enter.
- Para eliminar la leyenda de la parte superior escriba el comando unset key.
Graficación de un vector unitario
Para graficar un vector unitario se deben realizar varios cálculos:
- Magnitud del vector: Utilizando el teorema de Pitágoras se calcula el vector unitario. Para el ejemplo se utilizará el vector de la sección anterior. b = [22 +42 ]0,5 =4,47.
- Componentes del vector unitario: Se divide cada entrada entre la magnitud del vector, obteniéndose el vector unitario 0,45 i + 0,89 j.
- Graficar vector unitario: Utilice el comando set arrow 2 from 0,0 to 0.45,0.89 lw 3 lt 4
El vector en rosado de la figura de arriba es el vector unitario del vector que se graficó en la sección anterior.
Graficar proyección de un vector
Las proyecciones de un vector pueden ser contra un eje o contra otro vector. La graficación es similar, por ejemplo para el caso del vector de las secciones anterior, una proyección de él sobre el eje x se graficaría siguiendo los pasos que se describen a continuación:
- Calculo de producto punto: Realice la operación producto escalar donde los miembros son el i como dirección asociada al eje "x" y el vector de la sección anterior, es decir,
i • (2 i + 4 j) = 2.
- Graficar sector de proyección: Utilice el comando set arrow 3 from 0,0 to 2,0 lt 6 lw 3 nohead.
La línea amarilla corresponde a la proyección del vector sobre el eje x.
Represente graficamente la proyección del vector b sobre a, si a = 3i +2j +5k y b= i -2j +3k (utilice gnuplot )
Solución:
Primero calcule el producto punto, cuyo vayor será: 3 - 4 +15 = 14
Luego calcule la magnitud del vector a= [ 32 + 22 +52 ]0,5
Posteriormente calcule el vector unitario de a
ea = (3 / 38) i + (2/38) j + (5 /38) k
Observe en la figura la proyección del vector b sobre el vector a. El vector a está dibujado de color rojizo y la proyección de tono oscuro sobre él.
El código para que gnuplot realice la figura es:
splot "origen3d"
set yrange[-5:10]
set xrange[-5:10]
set zrange[-5:10]
set arrow 1 from 0,0,0 to 3,2,5 lt 4
set arrow 2 from 0,0,0 to 1,-2,3 lt 6
set arrow 3 from 0,0,0 to 1.10,0.74,1.84 lt 7
replot
Gráfica de suma de vectores
Para graficar la suma de dos vectores, se debe seguir los siguientes pasos:
- Realizar a mano, el proceso de suma de los vectores. Suponga a = 3i + 2j y b = 2 i + 4 j, su suma dá 5 i + 6j.
- Definir rango de los ejes: Identifique los valores máximo y mínimo de las componentes de los vectores aneriores. Para el eje x el valor máximo es 5 y el mínimo es cinco, por lo que un intervalo de 0 hasta 5 es adecuado. Para el eje "y" el valor máximo es 6 y el mínimo es 2 por lo que un grando de 0 a 10 es adecuado.
- Escribir comando de rangos: Utilice las instrucciones set xrange[0:5] y set yrange[0:10].
- Llamada origen: utilice el comando plot "origen2d".
- Graficar primer vector: set arrow 1 from 0,0 to 3,2 lt 4
- Graficar segundo vector: Usted de tomar en cuenta que el vector empezará donde terminó el anterior, por lo tanto la instrucciónes set arrow 2 from 3,2 to 5,6 lt 6.
- Graficar vector resultante: inicia desde el origen y llega hasta el punto calculado con la suma de los vectores. set arrow 3 from 0,0 to 5,6 lt 8.
Gráfica de un producto cruz
Para ilustrar el concepto de producto cruz, se debe recordar que el producto cruz entre dos vectorse, dá por resultado otro vector ( c = a x b)) que es perpendicular al plano al que pertenecen los vectores participantes de dicho producto (a x b).
Para gráficar un producto cruz se necesitan los dos vectores que se van multiplicar y la resultante. Observe el siguiente ejemplo donde se toman los vectores 3i +4 j + k y 4i - 5j - k.
Defina los rangos: set xrange[-5:5], set yrange[-10:5], set zrange[-35:10].
Llamada al origen: splot "origen3d", donde origen3d.txt contiene una línea con tres ceros separados por un espacio.
Grafique el primer vector: set arrow from 0,0,0 to 3,4,1 lt 3,
Grafique el segundo vector: set arrow from 0,0,0 to 4,-5, -1 lt 4
Grafique el vector producto cruz: set arrow from 0,0,0 to 1,7,-31 lt 7
Grafique el vector paralelo al primero: set arrow 4 from 4,-5,-1 to 7,-1,0 lt 9
Grafique el último vector que cierra el paralelogramo: set arrow 5 from 3,4,1 to 7,-1,0 lt 8
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